Dekorative Muster: Einige auf dem schwarz-weißen Dreieckpaar basierenden von uns erwähnten Muster haben sich aus der Antike und dem Mittelalter erhalten. Im ausgehenden 17. Jahrhundert sind zweifarbige Kacheln mit Dreiecken als Baudekoration verwendet worden. Beispiele solcher Kacheln sind dem dominikanischen Priester, Mönch, Mathematiker und Graphiker Sébastien Truchet (1657-1729) bei einem Spaziergang unweit von Orléans aufgefallen: "Während der letzten Reise, die ich im Auftrag Seiner Königlichen Hoheit zum Kanal D´Orléans unternahm, fand ich in einem Schloss namens Motte St. Lyé, 4 Meilen von Orléans entfernt, mehrere Keramikfliesen, die zum Fliesenlegen des Bodens einer Kapelle und mehrerer anderen Räume benutzt worden sind. Sie hatten eine quadratische Form und waren durch eine diagonale Linie in zwei farbige Teile unterteilt." Truchet analysierte die möglichen Kombinationen der Kacheln graphisch und mathematisch [3, 4]. Er definierte Paare von Kacheln, die in verschiedenen Abfolgen bei regelmäßigem Auslegen schöne Muster gebildet haben. Wenige Jahre nach ihm, 1722, präsentierte Pater Dominique Douat eine minutiöse mathematische Analyse [5] der Möglichkeiten der Erstellung von graphischen Mustern mit den von Sébastien Truchet beschriebenem Design von Kacheln.
Im 20. Jahrhundert ist auf die Muster von Truchet der Kunsthistoriker Ernst H. Gombrich aufmerksam gemacht worden. In seinem Buch The sense of order [6] hat er mehr als die psychologische Wirkung und den Einfluss der geometrischen dekorativen Kunst auf den Kunsthandwerk und verschiedene Kunstrichtungen wie Op-Art beschrieben und analysiert. Beeindruckt zeigte er sich von der fast „ad infinitum“ gehenden Permutation der Kachelungsmuster. Es ist dem Kunsthistoriker nicht entgangen, dass die vier Orientierungen, die in den quadratischen Mustern genutzt werden, das zentrale Phänomen der Biologie wiederspiegeln. Er deutete an, sie könnten als ein Sinnbild der Grundbausteine der Erbsubstanz betrachtet werden. Es gibt 64 Tripletts, die die Weitergabe der genetischen Information bei der Proteinsynthese ermöglichen und genauso viele Möglichkeiten drei Kacheln mit dem zweifarbigen Dreieckpaar nebeneinander zu legen. Werden Einheiten aus mehreren Kacheln oder Karten zusammengestellt, ist die Zahl entsprechend höher (464 fürs Format 8x8).
Kachelung: Das Quadrat ist eine der Grundformen einer platonischen Parkettierung, bzw. Kachelung. Bei dieser werden in der Regel definierte Formen, gleichseitige Dreiecke, Quadrate oder Sechsecke, in ausgewählten Gestaltungen abwechselnd eingesetzt. Die virtuellen Karten sowie die Legekarten von cardandcube bieten die Möglichkeit an Stelle des Quadrats die einzelnen Karten oder aus diesen zusammengesetzte größere Flächen einzusetzen. Der weiter oben erwähnte Sébastien Truchet hat eine Reihe von Mustern entworfen, bei denen er Einheiten aus zwei bis 10x10 Kacheln verwendet hat [4].
Die virtuellen cardandcube Spiele bringen verschiedene drehbare Figuren auf den Bildschirm. Mit den vier möglichen Orientierungen der Karten gibt es jeweils vier monotone Möglichkeiten der Parkettierung, die sich letztendlich nur in der Ausrichtung der Figur auf der parkettierten Fläche unterscheiden. Aus jeweils zwei Karten können bei cardandcube #2 ganze 16 verschiedene „Kartenduos“ gebildet werden, mit denen relativ einfache Parkettmuster erstellt werden können. Sie können die sich bietenden Möglichkeiten schnell erkunden, in dem Sie zwei Karten irgendwie nebeneinander legen und anschließend gleiche Kartenduos wiederholt nebeneinander aufreihen, gleiche Reihen aneinander bündig oder versetzt, eventuell um 180° gedreht, legen.
Wesentlich interessanter als die Verwendung von Kartenduos ist die Kachelung mit einem oder zwei Kartenquartetten als Einheiten. Dabei können Sie bei der Gestaltung eines Quartetts aus 256 Möglichkeiten wählen. Bei der Kachelung werden Quartette lückenlos neben- und übereinander gelegt. Bei den aktuellen cardandcube Spielen werden alle Quartette aus den einzelnen Karten erstellt. Ein copy-and-paste Verfahren zur Vervielfachung und Verlegung von Quartetten wurde nicht entwickelt, weil das Spiel keine Eile fordert.
Eine schematische Darstellung von Beispielen, wie die Quartette bei der Kachelung auf der Spielfläche verlegt werden können, findet sich weiter unten. Mit einigen Hinweisen möchten wir Sie ermutigen, eigenständig zu spielen.
Die Verwendung von Kartenquartetten ermöglicht es, durch die Kachelung ungeahnt viele geometrische Bilder oder Muster zu entwerfen. Eine wesentliche Rolle bei der Anordnung der Kacheln spielt dabei die Regelmäßigkeit sowie die Abwechslung, und darüber hinaus die horizontale, vertikale oder rotationssymmetrische Anordnung der virtuellen Karten.
Verschiedene Beispiele von Kachelung mit Kartenquartetten:
a) Beispiel eines Kartenquartetts
Dieses Quartett erinnert an ein offenes Buch oder an einen pickenden Vogel. Nehmen wir den Buchstaben A als ein Symbol des Quartetts. Wenn dieses Bild um 90° gedreht wird, resultiert daraus ein anderes Quartett. Wir werden es mit umgekipptem Buchstaben A symbolisieren (siehe g weiter unten).
b) Schema eines Kartenquartetts mit eingezeichneter Sequenz der einzelnen Karten, i-iv
c) Parallele oder monotone Anordnung, Wiederholung eines Kartenquartetts, A, in Reihen und Säulen
Wenn Sie diese Anordnung mit dem Format 8x8 und dem Quartettbeispiel a ausprobieren, werden Sie überrascht sein. In dem fertigen Bild wird es kaum möglich sein, die Vorlage zu erkennen. Das Gesamtbild wird von zusammengelegten gleichfarbigen Flächen beherrscht sein.
Auf Grund der Unterteilung ist es möglich benachbarte Reihen oder Säulen von Quartetten um eine Kartenbreite zu versetzen. Die Verschiebung kann zu markanten Veränderungen der an den Nahten der Reihen gebildeten Muster führen (vergleiche das Schema im Absatz g.)
d) Abwechselnde Anordnung von zwei verschiedenen Kartenquartetten, A und B
Auf größeren Formaten können Sie mit etwas Phantasie zahlreiche Variationen der Anordnung d ausprobieren. Statt zwei können Sie drei verschiedene Quartette, A, B, C über einander „stapeln“ und mit dieser Formation, einer länglichen Kachel, das ganze Format ausfüllen. Die nebeneinander liegenden Kacheln können in der Höhe entweder bündig oder um eine oder mehrere Karten versetzt verlegt werden. Wenn die Kacheln in geraden horizontalen Streifen übereinander liegen, können die Quartette, die entlang der Naht benachbarter Streifen liegen, entweder bündig oder versetzt (s. j weiter unten) angeordnet werden.
e) Vertikal parallele Anordnung von zwei verschiedenen Kartenquartetten, A und B
Bei dieser Anordnung empfehlen wir das Kartenquartett B als ein Farbtauschsymmetriebild des Spiegelbildes von A zu gestalten (man kann neben dem Kartenquartett A dessen Spiegelbild anlegen und dann jede einzelne Karte des Spiegelbildes um 180° drehen, um den Farbtausch zu erzielen.
f) Antiparallele Anordnung (eine Säule mit den Kartenquartetten wurde um den Zentralpunkt um 180° gedreht)
g) Rotationssymmetrische Anordnung von 4 Quartetten
Anfangs wird ein Kartenquartett im oberen linken Viertel des 8x8-Formats angelegt. Die nächsten folgen im Uhrzeigersinn wobei sie als Kopien der ersten aufgebaut und jeweils um 90°, 180° und 270° gedreht werden. Das Ergebnis ist ein Bild mit Rotationssymmetrie 4. Ordnung.
Wenn wir im oberen rechten Viertel des Formats beginnen und gegen den Uhrzeigersinn vorgehen, wobei die Quartettbilder nach wie vor um 90° usw. gedreht werden, erhalten wir ein Bild mit Rotationssymmetrie 2. Ordnung.
h) Alternative Betrachtungen der Kartenquartettraster
Bei der Betrachtung einer Kachelung in mehreren Reihen und mehreren Kolonnen kann der Raster repetitiver Quartettbilder zwischen zwei Alternativen wechseln. Es ist durchaus möglich, dass die ausgewählten Kartenquartette, die in den Doppelzeilen A ausgelegt werden, weniger Aufmerksamkeit auf sich ziehen, als die unabsichtlich in der Doppelzeile X um die Nahtlinie gebildeten Quartette.
i) Versatz von Doppelstreifen von Kartenquartetten um eine Kartenbreite
j) Überlappende diagonale Anordnung von Kartenquartetten
Diese Anordnung ist dann möglich, wenn die diagonal benachbarten Karten (hier passend zu den Karten i und iii im Schema a) identische Orientierung aufweisen. Mehrere nach diesem Prinzip aufgebaute diagonale Ketten können parallel und miteinander verzahnt zusammengelegt werden.
Nachfolgend wird ein rotationssymmetrisches Bild gezeigt, das ausgehend vom Quartett a nach dem Schema g erstellt wurde. Das Quartett wurde zu Beginn in das obere linke Viertel des Formats 4x4 eingesetzt:
Sie können mit demselben Quartett a an jeder anderen Ecke des 4x4-Formats beginnen. Die Ergebnisse unterscheiden sich voneinander.
Machen eine Entdeckung. Öffnen Sie das 8x8 Format. Bauen Sie in der oberen rechten Ecke ein nicht symmetrisches Quartett auf. Befolgen Sie die Anweisungen unter Schema g und erstellen Sie ein zweifach rotationssymmetrisches Bild. Kopieren Sie das fertige Quadrat in das freie Viertel oben links. Können Sie im Bild mit zweifach rotationssymmetrischen Mustern ein vierfach rotationssymmetrisches finden?
Der Charakter der punktsymmetrischen Bilder kann durch Umgestalten des zentralen Quartetts wesentlich verändert werden. Die Symmetrie des Gesamten wird beibehalten, wenn Sie die Bilder einer Kartengruppe um 90° oder ein mehrfaches davon drehen, sofern die Konturen der Gruppe selbst rotationssymmetrisch sind. Wenn Sie Änderungen ausprobieren und dabei kein Bild verlieren möchten, das Sie schön finden, speichern Sie es.
Die zuvor gezeigte vierzählige Spirale können Sie als Vorlage verwenden. Öffnen Sie das 8x8-Format und erstellen Sie zwei dieser Vorlagen im unteren und oberen linken Viertel. Legen Sie die nächste Kopie der Vorlage in einer beliebigen Höhe in den leeren Bereich rechts und füllen Sie den verbleibenden Bereich aus, als ob die Vorlagen um die Breite einer oder mehrerer Karten verschoben wären.
Schließlich können Sie mit noch größeren Formaten arbeiten, solange die Karten nicht zu klein geraten, um mit diesen zu spielen. Erstellen Sie die vierzählige Spirale in der Mitte oder irgendwo am Rand des ausgewählten Formats. Legen Sie nun Karten auf die freien Ränder der Kopie, um die weißen und schwarzen Bänder zu verlängern und sie umeinander zu falten, solange Platz vorhanden ist. Die Ergebnisse werden Sie verblüffen. Wenn dieses Spiel länger dauert als erwartet, speichern Sie das Bild, damit Sie später fortfahren können.
Beispiele: Mit der Karte von cardandcube #1 und #2 können Sie eine fast unbegrenzte Anzahl von Bildern erstellen. Hier sehen Sie einige Beispiele:
Die hier gezeigten Bilder sind mittels cardancube #2 entworfen und als Bildschirmaufnahmen festgehalten worden. Im untersten Bild lassen sich 4-Karten breite Spalten erkennen. Dir jeweils benachbarten Spalten bilden ein farbtauschsymmetrisches Bildpaar. Die Wirkung eines solchen Bildes kann durch Drehen um 45° und orthogonales Beschneiden eindrucksvoll verändert werden. Ein Beispiel deratiger Bearbeitung finden Sie hier.
Kippbilder, Kippfiguren: Bei visueller Wahrnehmung von Bildern werden laufend neue Seheindrücke aufgenommen und im Gehirn verarbeitet. Infolgedessen kann ein Einzelbild unterschiedlich interpretiert werden, je nachdem, wie seine Bestandteile bekannten Strukturen zugeordnet werden. Wechselt die Zuordnung zwischen zwei Alternativen, sprechen wir von Kippbildern. Eines der bekanntesten Beispiele dieser Art ist der Necker-Würfel.
Mit dem Quartett „geneigte Sanduhr":
geht die Konstruktion eines Kippbildes etwa im Format 4x4 ganz einfach nach dem Schema c. Das Ergebnis ist erstaunlich.
Das resultierende Muster kann als mehrdeutig wahrgenommen werden. Was wir sehen, hängt davon ab, wie wir es betrachten. Bestimmte wahrgenommene Bildmotive wiederholen sich in diagonalen, andere in orthogonalen (vertikal und horizontal angeordneten) Rastern.
Betrachten wir das weiter oben vorliegende Quartett als eine Kombination von zwei vertikalen Kartenduos, wie in Schema b gezeigt: auf der linken Seite die Karte i über der Karte iv und auf der rechten die Karte ii über der Karte iii. Jetzt bewegen wir das rechte Kartenduo auf die linke Seite des anderen. In beiden Fällen, vor und nach dem Tausch, haben wir auffällige symmetrische Bilder. Wenn mehrere solche Doppelkarten abwechselnd nebeneinander angeordnet sind, ist die Interpretation des Bildes bistabil.
Aus 4 Karten kann freilich auch eine stehende Sanduhr erstellt werden (Beispiele hier). Diese ist doppelt so groß, wie die „geneigte Sanduhr“, weil ihre trichterförmigen Teile aus jeweils zwei Dreiecken gebildet werden: aus zwei schwarzen oder aus zwei weißen. Die Quartette mit schwarzen bzw. weißen Sanduhren, nach Schema d aneinander gelegt, ergeben ein ähnliches Kippbild, wie die „geneigten Sanduhren“.
Marburger Kippbilder:
Kippbilder auf dem Schmuckboden in der Sakristei der Schlosskapelle und in der Sakristei der Elisabethkirche in Marburg. Die Abbildung zeigt A) Einen Teil des in der Sakristei der Marburger Schlosskapelle erhaltenen Schmuckbodens. B) Das entsprechende mit cardandcube #2P erstellte geometrische Muster. Der gelbe Rahmen in A und B verdeutlicht die Identität der beiden Muster. C) Ein weiterer Teil des dekorativen Bodens der Sakristei der Schlosskapelle. Wir danken dem Museum für Kulturgeschichte der Philipps-Universität Marburg für die Erlaubnis, Detailfotos des dekorativen Bodens der Sakristei der Schlosskapelle (A und C) zeigen zu dürfen. D) Eine Nachbildung des Musters A in der Sakristei der Elisabethkirche. Wir danken der Ev. Elisabethkirchengemeinde Marburg um Erlaubnis zur Veröffentlichung dieses Detailbildes.
In Marburger Elisabethkirche findet sich mehrfach Bodenschmuck, dessen Design auf zweifarbigen diagonal geteilten Quadraten basiert. Unter dem Schrein der hl. Elisabeth in der Sakristei ist der Schmuckboden besonders attraktiv. In seinem rekonstruierten Teil findet sich ein bemerkenswertes Muster aus schwarzen und gelblichen dreieckigen Fliesen. Die Interpretation der optischen Wahrnehmung des Musters wechselt (kippt) zwischen mehreren Alternativen. Die repetitiven Motive des Schmuckbodens zeigen sich entweder als ein Windrad- (Propeller), das in unterschiedlichen überlappenden Rastern erscheinen kann, oder als ein Sanduhrbild. Diese Strukturen erscheinen mal schwarz auf hellem Hintergrund, mal hell auf schwarzem. Das Vorbild des Musters geht auf die Antike (beispielsweise den Bodenschmuck der Cassa delle nozze d`argento in Pompeji) zurück.
Nach Karl Justi [6, S. 21] wurde der ursprünglich mit Stein ausgelegte Boden der Schlosskapelle und ihrer Sakristei im frühen 14. Jahrhundert „nach der Fertigstellung der Sakristei ... mit einem einzigartig kunstvollen Tonfliesenmosaik“ ausgestattet. Den Umbau wurde vom Münsteraner Bischof Ludwig II., veranlasst. Dieser war ein Urenkel der Elisabeth von Thüringen und Halbbruder des Marburger Landgrafen Otto. Nach 1311 verfügte er über Marburg. Daher ist es wahrscheinlich, dass zumindest Teile der auf der Burg erhaltenen Schmuckfußböden 700 Jahre alt sind.
Das Marburger Kippbild-Muster besteht aus diagonal geteilten zweifarbigen Quadraten, die jedoch aus dreieckigen schwarz und gelblich glasierten dreieckigen Fliesen erstellt worden sind. Die von Truchet 1704 beschriebenen zweifarbigen quadratischen Fliesen [3] standen den Marburger Fliesenlegern nicht zur Verfügung. Vorbilder ihrer Muster könnten die keramischen Fußböden der älteren Xantener Kirche St. Viktor [7, Abb. 67] und einige römische Mosaiken in Köln [7, Abb. 269] gewesen sein. An Stelle von Stein wurden modernere und billigere (leider auch weniger haltbare) glasierte Dreiecksfliesen verwendet, derer Herstellungsweise zu uns aus Flandern gekommen ist.
Mathematik: Muster, die nach einfachen Regeln aufgebaut werden können, werden als regel-basierte Bilder bezeichnet. Algorithmen und ihre Effizienz sind von Mathematikern eingehend untersucht worden, ebenso wie Logik und Rekursion. Beide eignen sich hervorragend zur Etablierung von regelbasierten Bildern. Ein Demonstrationsprogramm, das u. A. Truchet-Kacheln verwendet, ist von Eric W. Weisstein entwickelt worden [8].
In Bezug auf Interesse der Mathematik an den Befunden von S. Truchet und auf die Möglichkeit analog zu seinen Mustern 3D Kachelung zu entwerfen, verweisen wir auf einen Aufsatz von E.A. Lord und S. Ranganathan und die dort kommentierten Originalarbeiten [9].
Inspiration und Freude: Parkettierung mit cardandcube #2 mag sowohl diejenigen inspirieren, die Ordnung lieben, organisieren und bewahren möchten als auch andere, die immer das Neue suchen und gerne Elemente der Asymmetrie um sich platzieren oder in der Lage sind, eventueller Unordnung etwas Positives abzugewinnen. Zwischen den Extremen liegt die Würze, stellte der Kunsthistoriker E.H. Gombrich auf seine Art fest: „Als die grundlegendste Tatsache der ästhetischen Erfahrung müssen wir letztendlich die Tatsache erklären, dass die Freude irgendwo zwischen Langeweile und Verwirrung liegt” [10, S.9].
LITERATUR
- Mukherjee, R. und Kodandaramaiah, U. (2015): What makes eyespots intimidating - The importance of pairedness. MC Evol Biol 2015, 15:34.
- Anderson, J.R. et al. (2005): Are Monkeys Aesthetists? Rensch (1957) Revisited. J Exper Psychol Animal Behav Processes 31:71-80
- Truchet, S. (1704): Memoir sur les Combinaisons. Memoires de l´ Académie Royale des Sciences, 363-372
- Smith, C.S. und Boucher, P. (1987): The Tiling Patterns of Sébastien Truchet and the Topology of Structural Hierarchy. Leonardo 20, 373-385
- Douat, D. (1722): Méthode pour faire une infinité de Desseins différents avec des Carreaux mi- partis de deux Couleurs par une Ligne diagonale, ou Observations du Pere Dominique Douat Religieux Carme de la Province du Toulouse, Sur un Mémoire inseré dans l´Histoire de l´Académie Royale des Sciences de Paris l´année 1704, présenté par le Reverend Pere Sébastien Truchet, Religieux du même Ordre, Académicien honoraire. Paris
- Justi, K.: Das Marburger Schloss. Geschichte einer deutschen Burg. Veröffentlichungen der Historischen Kommission für Hessen und Waldeck XXI. N.G. Elwertsche Verlagsbuchhandlung, Marburg 1942
- Kier, H. (1970): Der mittelalterliche Schmuckboden. Rheinland Verlag, Düsseldorf
- Weisstein, Eric W."Truchet Tiling." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- Lord, E.A. und Ranganathan, S. (2006): Truchet tilings and their generalisations. Resonance, June 2006, 42-50
- Gombrich, E.H. (1994): The sense of order. A study in the psychology of decorative Art. 2nd ed. Phaidon Press Ltd., London
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