Die Karten-App Card and cube #2

BESCHREIBUNG

Wir legen Ihnen eine anregende virtuelle Legekarte zum Spielen vor. Mit ihr können Sie phantasievoll spielen und Freizeit genießen. Das Credo der App card and cube #2 ist Freude an eigener Kreativität. Mit etwas Spontaneität und eigener Vorstellungskraft können Sie fast unbegrenzt viele geometrische Bilder gestalten.

Die virtuelle Karte von card and cube #2 ist identisch mit der Vorderseite der Legekarte des Spiels von Hana Hasilik card and cube #1:

ein unzertrennliches  Paar von Dreiecken auf einer quadratischen Fläche. Beide rechtwinklig  und gleichschenklig, eines Schwarz und das andere weiß.

Für dekorative Zwecke sind in Frankreich Kacheln mit zweifarbigem Muster dieser Art vor gut drei Hunderten Jahren verwendet worden (Literaturstelle Nr.3).

Auf dem Bildschirm kann die virtuelle Karte durch Berühren oder durch einen Mausklick (>) um 90° im Uhrzeigersinn gedreht werden. Nach viermaligem Anklicken kehrt sie zum Ausgangsbild zurück. Durch einen Doppelklick (<<) dreht sich die Karte in entgegengesetzter Richtung (links herum). Die Karte und die Ergebnisse des 1- bis 4-fachen Anklickens sehen wie folgt aus:

hinher
Paarweise das erste und das dritte (bzw. das zweite und das vierte) Bild von links sind farbtauschsymmetrisch. Das eine läßt sich in das andere durch eine Drehung um 180° überführen.

Das Spiel card and cube #2 ist mobil - spielen können Sie alleine oder mit Freunden und praktisch überall, wenn Sie die Android- oder die iOS-Version besitzen. Sie können auch parallel spielen, die Ergebnisse speichern und teilen - unabhängig davon, ob Sie mit Handy, an einem mac, Tablet, oder (in Vorbereitung)  einem Windows PC spielen.

ANLEITUNG

Die Karte stellt sich vor  – Nach dem Öffnen dieser App sehen Sie eine Karte, die sich selbst vorstellt. Folgen Sie den Vorschlägen und lernen Sie den Umgang mit der Karte und dem Format der Spielfläche kennen. Wann immer Sie möchten, können Sie diese Vorstellung unterbrechen und mit Spielen anfangen, in dem Sie die Taste Zum Spiel, die während der Vorführung angezeigt wird, berühren oder anklicken. Die Vorstellung kann über das Informationsmenü "i" wieder aufgerufen werden. An dieser Stelle findet sich innerhalb der App auch eine Anleitung.

Format – Zu Beginn eines Spiels wird mittels der Taste Format die Anzahl der Kartenplätze auf der Spielfläche gewählt. Es stehen Ihnen in den Handy-Versionen bis 600 und für Desktops bis 864 virtuelle Karten zur Verfügung. Vor einem Spielbeginn haben Sie die Möglichkeit ein bisheriges Spiel zu unterbrechen, seinen Stand zu speichern und das Spiel später fortzusetzen.

Nach der Wahl des Formats werden die freien Plätze durch einfaches Berühren oder Anklicken mit Karten belegt. Jede Karte kann sofort oder später beliebige Male gedreht werden. An den Nahtstellen benachbarter Karten werden dadurch Grenzen zwischen weißen und schwarzen Flächen gebildet und aufgehoben. Mit wenigen  Werkzeugen können Sie ganz nach eigenem ästhetischen Empfinden markante schwarz-weiße Bilder in großer Vielfalt erstellen. 

 Speichern – Speichern Sie das laufende Spiel und nutzen Sie dafür einen von 9 Speicherplätzen. Durch Antippen oder Anklicken eines leeren Speicherplatzes oder eines nicht mehr Benötigten wird Ihr laufendes Spiel dort gespeichert.

Projekte fortsetzen – eröffnet ein Pop-up Menü mit gespeicherten Projekten.

Speichern – Sie können einen Spielstand auch als Datei speichern. Wird dieser Menüpunkt gewählt, öffnet sich ein Dialog zur Auswahl des gewünschten Speicherorts.

Öffnen – über diesen Menüpunkt können Sie einen gespeicherten Spielstand laden. Wählen Sie die Datei in ihrem Speicherort, wird Ihr laufendes Spiel beendet und der gewünschte Spielstand geladen.

Exportieren – Über diesen Menüpunkt können Sie ein Bild Ihres aktuellen Spielstands im PNG Format erzeugen und speichern.

Drehen aller Karten – Wie mit einem Zauberstab erzeugen Sie neue Bilder. Der Befehl  führt dazu, dass jede Karte um die senkrechte Achse ihres Kartenplatzes um 90° gedreht wird.

Zeit- und Schrittzähler:  Die Aufzeichnungen von Zeit und Bewegungen werden unten rechts angezeigt. Die Zählung beginnt mit dem ersten Zug. Durch Anklicken können Sie den Zeitzähler anhalten; Das Zählen wird fortgesetzt, sobald eine Karte berührt wird. 

NACH WENIGEN KLICKS KÖNNEN SIE DIE KARTE KENNENLERNEN, SODANN SPIELEN UND DABEI NUR IHRER INTUITION ODER DEM ZUFALL FOLGEN. SPÄTER KÖNNEN SIE TIPPS FÜRS SPIELEN VON DIESER WEBSEITE HOLEN.

Viel Spaß!

 

BITTE ETWAS GEDULD, IM SHOP FINDEN SIE BALD VERSIONEN DER APP FÜR VERSCHIEDENE ENDGERÄTE.

TIPPS

Spielanfang: Unmittelbar nach der interaktiven Vorstellung der Spielkarte können Sie „loslegen“. Mit den folgenden Erläuterungen werden die Möglichkeiten des Spiels vorgelegt.

Mit der Taste Format wählen Sie die Anzahl der Karten, mit denen Sie spielen möchten. Beim Spielen mit Kartenpaaren entscheiden Sie zunächst, an welche Seite der ersten Karte die zweite angelegt werden soll. Hier wird mit der zweiten Karte der Platz unterhalb der ersten belegt. (Die belegten Kartenplätze sind mit türkisfarbenen Streifen markiert.) Es gibt vier Möglichkeiten für die Rotation der zweiten Karte in der gleichen Ebene:

Diese Serie der Kartenpaare zeigt, dass die Orientierung der angelegten zweiten Karte darüber entscheidet, ob es über die Nahtstelle der beteiligten Karten zum Farbwechsel oder zur Vergrößerung der weißen Fläche kommt. Im letzteren Fall auch darüber, ob diese Fläche attraktiv und eventuell rotations- oder spiegelsymmetrisch ist, wie bei dem dritten bzw. dem vierten Paar.

Als eine Spieleinheit bewährt hat sich das aus 2x2 Karten bestehende Kartenquartett. Wird beispielsweise das oben gezeigte dritte Kartenpaar (gezählt von links) zu einem Quartett ausgebaut, kann versucht werden, die weiße Fläche des Paares nach rechts zu spiegeln:  

Diese Bildsequenz illustriert das Anlegen der dritten Karte an das Kartenpaar und im zweiten Schritt das Drehen dieser Karte um 90° im Uhrzeigersinn. Das Drehen führt zur horizontalen Spiegelung in der oberen Bildhälfte. Im nächsten Schritt wird die vierte Karte des Quartetts angelegt. Die beabsichtigte horizontale Spiegelung in der unteren Hälfte des Quartetts wird nun mit einer Drehung dieser Karte gegen den Uhrzeigersinn erreicht. Dies geht mit einem Doppelklick oder doppeltem Antippen der Karte. Natürlich ist das Ergebnis nach dreimaligem Antippen der vierten Karte (3x90°) gleich.

Es lassen sich 256 verschiedene Quartette erstellen. Jedes vierte ist auf die eine oder andere Art symmetrisch. Manche erinnern an Bilder von einfachen einprägsamen Objekten und können entsprechend benannt werden: Zum Beispiel das eben erstellte Quartett lässt sich als eine nach oben gerichtete „Pfeilspitze“ bezeichnen. Wie beabsichtigt, dieses Quartett ist horizontal spiegelsymmetrisch:

Die obere Hälfte des Bildes lässt sich als ein weißer und die untere als ein schwarzer Gipfel bezeichnen. Getrennt liessen sich diese zwei Hälften als ein farbtauschsymmetrisches (s. weiter oben) Bilderpaar bezeichnen.

Interessanterweise sind es meist die aus gepaarten Teilen bestehenden symmetrischen Bilder, die unsere Aufmerksamkeit an sich ziehen. (Dabei ist der Mensch nicht das einzige Lebewesen, das ästhetische Phänomene nicht mit Gleichgültigkeit wahrnimmt [1]. Die Rezeption symmetrischer Bilder mag tief in der Evolution verwurzelt sein: “two is a biologically significant number that is important in prey-predator signalling” - zwei (wie zwei Augen) ist eine biologisch bedeutende Zahl, da sie bei der Wahrnehmung der Jäger-Gejagte Rollen im Spiel ist [2].)

Übung: Wählen Sie das Format 4x4 und bauen Sie vier Quartette nacheinander. Als erstes erstellen Sie in der Ecke unten links dieses Kartenquartett: 

Es erinnert an ein offenes Buch oder an einen pickenden Vogel. Als nächstes bauen Sie oberhalb dieses ersten Quartetts ein weiteres auf, als wäre das erste um 90° nach rechts gedreht. In diesem scheint der "Vogel" nach links zu schauen. Bauen Sie nach dem gleichen Prinzip das dritte und schliesslich das vierte Quartett unten rechts auf. Viel Spaß!

Das Ergebnis der Übung ist ein punktsymmetrisches bzw.  rotationssymmetrisches Bild mit vierzähliger Drehachse. Mit dem gleichen Quartett kann in egal welcher Ecke des 4x4 Formats angefangen werden. Mit der gleichen Strategie lassen sich folglich vier verschiedene punktsymmetrische Bilder erstellen.  Eines der Ergebnisse findet sich hier).

Erkunden Sie die Welt der Bildrotation weiter, in dem Sie bei einem symmetrischen Bild im Format 2x2 oder 4x4 jede Karte einmal antippen. (Gehen Sie systematisch vor, Zeile für Zeile und wiederholen Sie die Drehung aller Karten weiter!) Wie wird sich das Bild geändert haben?

Wählen Sie das Format 4x4 und bauen Sie in einem seiner Viertel ein beliebiges Quartett auf. Sie können sich von dem weiter oben Gezeigten inspirieren lassen, oder Sie bauen ein neues auf. Auf den benachbarten Vierteln können Sie nun ein horizontales und zum Schluss ein vertikales Spiegelbild erstellen.

Eine andere Übung im Format 4x4: Finden sie Gefallen an einem Paar gleicher nebeneinander oder übereinander gelegter Kartenquartette, versuchen Sie unter Verwendung von 8 Karten entlang der längeren Kante der beiden Quartette ein farbtauschsymmetrisches Paarbild anzulegen. Fällt Ihnen die Erstellung dieses Paarbildes schwer, dann können Sie es sich hiermit leichter machen: Im ersten Schritt verdoppeln Sie das Bild und im zweiten drehen Sie alle Karten des neuen Teils einzeln und nacheinander (mit je zwei Berührungen bzw. Klicks) um 180° um. Fertig!

Spielen: Zum eigentlichen Spielen wählen Sie ein größeres Format (eine Spielfläche). Durch Drehen der einen oder anderen Karte können Sie das Bild nach Ihrer Vorstellung umgestalten. Sie können mit einem Quartett an einer selbst gewählten Stelle der Spielfläche anfangen und anschließend weitere Karten an das Quartett anlegen und diese drehen, bis Sie Ihre Gestaltungsideen auf der gesamten Spielfläche realisiert haben.

Unter den 256 Kartenquartetten der Spiele Card and cube #1 und #2 finden sich vier  mit der Punktsymmetrie einer 4-zähligen Drehachse. Zwei dieser Kartenquartette bilden ein schwarzes bzw. ein weißes Quadrat. Erstellen Sie ein solches Quartett mit einem Quadrat in der Mitte des 8x8 Formats. Nun legen Sie dessen Ecken die fünfte bis achte Karte so an, dass die Rotationssymmetrie wie bei einem Schaufelrad erhalten bleibt. Setzen Sie die Erweiterung nach gleichem Prinzip fort, bis Sie ein punktsymmetrisches Bild erhalten, das das ganze Format ausfüllt.

Speicherung: Vor dem Beenden der App kann das Ergebnis gespeichert werden. Vorsicht, ohne Speicherung geht das Bild verloren, sobald Sie ein neues Format wählen.

Kein Bild muss "fertig" sein. Wenn Sie ein Bild gespeichert haben, das Ihnen gefallen hat, können es Sie mal später wieder öffnen und beispielsweise nur seine Mitte umgestalten. Sie können das veränderte Bild an Stelle des früheren speichern.  Wenn Ihnen die Änderung nicht zusagt, verwerfen Sie es, in dem Sie ein neues Format wählen. Das vorhin gespeicherte Bild können Sie bei Gelegenheit erneut öffnen.

Ein Spiel ums Gewinnen: Vereinbaren Sie mit einer oder mehreren Personen, die diese App an ihren Geräten installiert haben, eine Aufgabe, mit der ein Quartett vervielfacht und dabei systematisch umgewandelt wird (s. Übung für Fortgeschrittene). Sie einigen sich auf ein Ausgangsquartett, die Größe der Spielfläche und die Art der Umwandlungen. Zur Einstimmung und zum Vergleich des Ergebnisses erstellen Sie Fotoaufnahmen (s. weiter unten), die den Mitspielern zugesandt werden. Danach können alle - eigentlich egal wann - anfangen und am Ende ihre Bilder aufnehmen. Bei korrektem Ergebnis wird der erste Platz durch den Vergleich der benötigten Zeit und bei Gleichheit der Zeit durch die geringere Anzahl der Schritte bestimmt. Tauschen Sie sich über die optischen Eindrücke und Wahrnehmung des Ergebnisses aus.

Foto: Card and cube ermöglicht eine Speicherung des aktuellen Spiels im .png Format. Nutzen Sie dafür die Exportfunktion im Menü in der linken unteren Ecke des Bildschirms. 

ERGÄNZUNGEN

Dekorative Muster: Einige auf dem schwarz-weißen Dreieckpaar basierenden von uns erwähnten Muster haben sich aus der Antike und dem Mittelalter erhalten. Im ausgehenden 17. Jahrhundert sind zweifarbige Kacheln mit Dreiecken als Baudekoration verwendet worden. Beispiele solcher Kacheln sind dem dominikanischen Priester, Mönch, Mathematiker und Graphiker Sébastien Truchet (1657-1729) bei einem Spaziergang unweit von Orléans aufgefallen: "Während der letzten Reise, die ich im Auftrag Seiner Königlichen Hoheit zum Kanal D´Orléans unternahm, fand ich in einem Schloss namens Motte St. Lyé, 4 Meilen von Orléans entfernt, mehrere Keramikfliesen, die zum Fliesenlegen des Bodens einer Kapelle und mehrerer anderen Räume benutzt worden sind. Sie hatten eine quadratische Form und waren durch eine diagonale Linie in zwei farbige Teile unterteilt." Truchet analysierte die möglichen Kombinationen der Kacheln graphisch und mathematisch [3, 4]. Er definierte Paare von Kacheln, die in verschiedenen Abfolgen bei regelmäßigem Auslegen schöne Muster gebildet haben. Wenige Jahre nach ihm, 1722, präsentierte Pater Dominique Douat eine minutiöse mathematische Analyse [5] der Möglichkeiten der Erstellung von graphischen Mustern mit den von Sébastien Truchet beschriebenem Design von Kacheln.

Im 20. Jahrhundert ist auf die Muster von Truchet der Kunsthistoriker Ernst H. Gombrich aufmerksam gemacht worden. In seinem Buch The sense of order [6] hat er mehr als die psychologische Wirkung und den Einfluss der geometrischen dekorativen Kunst auf den Kunsthandwerk und verschiedene Kunstrichtungen wie Op-Art beschrieben und analysiert. Beeindruckt zeigte er sich von der fast „ad infinitum“ gehenden Permutation der Kachelungsmuster. Es ist dem Kunsthistoriker nicht entgangen, dass die vier Orientierungen, die in den quadratischen Mustern genutzt werden, das zentrale Phänomen der Biologie wiederspiegeln. Er deutete an, sie könnten als ein Sinnbild der Grundbausteine der Erbsubstanz betrachtet werden. Es gibt 64 Tripletts, die die Weitergabe der genetischen Information bei der Proteinsynthese ermöglichen und genauso viele Möglichkeiten drei Kacheln mit dem zweifarbigen Dreieckpaar nebeneinander zu legen. Werden Einheiten aus mehreren Kacheln oder Karten zusammengestellt, ist die Zahl entsprechend höher (464 fürs Format 8x8).

Kachelung: Das Quadrat ist eine der Grundformen einer platonischen Parkettierung, bzw. Kachelung. Bei dieser werden in der Regel definierte Formen, gleichseitige Dreiecke, Quadrate oder Sechsecke, in ausgewählten Gestaltungen abwechselnd eingesetzt. Die virtuellen Karten sowie die Legekarten von cardandcube bieten die Möglichkeit an Stelle des Quadrats die einzelnen Karten oder aus diesen zusammengesetzte größere Flächen einzusetzen. Der weiter oben erwähnte Sébastien Truchet hat eine Reihe von Mustern entworfen, bei denen er Einheiten aus zwei bis 10x10 Kacheln verwendet hat [4].

Die virtuellen Card and cube Spiele bringen verschiedene drehbare Figuren auf den Bildschirm. Mit den vier möglichen Orientierungen der Karten gibt  es jeweils vier monotone Möglichkeiten der Parkettierung, die sich letztendlich nur in der Ausrichtung der Figur auf der parkettierten Fläche unterscheiden. Aus jeweils zwei Karten  können bei Card and cube #2 ganze 16 verschiedene „Kartenduos“ gebildet werden, mit denen relativ einfache Parkettmuster erstellt werden können. Sie können die sich bietenden Möglichkeiten schnell erkunden, in dem Sie zwei Karten irgendwie nebeneinander legen und anschließend gleiche Kartenduos wiederholt nebeneinander aufreihen, gleiche Reihen aneinander bündig oder versetzt, eventuell um 180° gedreht, legen.

Wesentlich interessanter als die Verwendung von Kartenduos ist die Kachelung mit einem oder zwei Kartenquartetten als Einheiten. Dabei können Sie bei der Gestaltung eines Quartetts aus 256 Möglichkeiten wählen. Bei der Kachelung werden Quartette lückenlos neben- und übereinander gelegt. Bei den aktuellen Card and cube Spielen werden alle Quartette aus den einzelnen Karten erstellt. Ein copy-and-paste Verfahren zur Vervielfachung und Verlegung von Quartetten wurde nicht entwickelt, weil das Spiel keine Eile fordert.

Eine schematische Darstellung von Beispielen, wie die Quartette bei der Kachelung auf der Spielfläche verlegt werden können, findet sich weiter unten. Mit einigen Hinweisen möchten wir Sie ermutigen, eigenständig zu spielen.

Die Verwendung von Kartenquartetten ermöglicht es, durch die Kachelung ungeahnt viele geometrische Bilder oder Muster zu entwerfen. Eine wesentliche Rolle bei der Anordnung der Kacheln spielt dabei die Regelmäßigkeit sowie die Abwechslung, und darüber hinaus die horizontale, vertikale oder rotationssymmetrische Anordnung der virtuellen Karten.

Verschiedene Beispiele von Kachelung mit Kartenquartetten:
a) Beispiel eines Kartenquartetts

Dieses Quartett erinnert an ein offenes Buch oder an einen pickenden Vogel. Nehmen wir den Buchstaben A als ein Symbol des Quartetts. Wenn dieses Bild um 90° gedreht wird, resultiert daraus ein anderes Quartett. Wir werden es mit umgekipptem Buchstaben A symbolisieren (siehe g weiter unten).

b) Schema eines Kartenquartetts mit eingezeichneter Sequenz der  einzelnen Karten, i-iv

c) Parallele oder monotone Anordnung, Wiederholung eines Kartenquartetts, A,  in Reihen und Säulen

Wenn Sie diese Anordnung mit dem Format 8x8 und dem Quartettbeispiel a ausprobieren, werden Sie überrascht sein. In dem fertigen Bild wird es kaum möglich sein, die Vorlage zu erkennen. Das Gesamtbild wird von zusammengelegten gleichfarbigen Flächen beherrscht sein.

Auf Grund der Unterteilung ist es möglich benachbarte Reihen oder Säulen von Quartetten um eine Kartenbreite zu versetzen. Die Verschiebung kann zu markanten Veränderungen der an den Nahten der Reihen gebildeten Muster führen (vergleiche das Schema im Absatz g.)

d) Abwechselnde Anordnung von zwei verschiedenen Kartenquartetten, A und B

Auf größeren Formaten können Sie mit etwas Phantasie zahlreiche Variationen der Anordnung d ausprobieren. Statt zwei können Sie drei verschiedene Quartette, A, B, C über einander „stapeln“ und mit dieser Formation, einer länglichen Kachel, das ganze Format ausfüllen. Die nebeneinander liegenden Kacheln können in der Höhe entweder bündig oder um eine oder mehrere Karten versetzt verlegt werden. Wenn die Kacheln in geraden horizontalen Streifen übereinander liegen, können die Quartette, die entlang der Naht benachbarter Streifen liegen, entweder bündig oder versetzt (s. j weiter unten) angeordnet werden.

e) Vertikal parallele Anordnung von zwei verschiedenen Kartenquartetten, A und B

Bei dieser Anordnung empfehlen wir das Kartenquartett B als ein Farbtauschsymmetriebild des Spiegelbildes von A zu gestalten (man kann neben dem Kartenquartett A dessen Spiegelbild anlegen und dann jede einzelne Karte des Spiegelbildes um 180° drehen, um den Farbtausch zu erzielen.

f) Antiparallele Anordnung (eine Säule mit den Kartenquartetten wurde um den Zentralpunkt  um 180° gedreht)

g) Rotationssymmetrische Anordnung von 4 Quartetten

Anfangs wird ein Kartenquartett im oberen linken Viertel des 8x8-Formats angelegt. Die nächsten folgen im Uhrzeigersinn wobei sie als Kopien der ersten aufgebaut und jeweils um 90°, 180° und 270° gedreht werden. Das Ergebnis ist ein Bild mit Rotationssymmetrie 4. Ordnung.

Wenn wir im oberen rechten Viertel des Formats beginnen und gegen den Uhrzeigersinn vorgehen, wobei die Quartettbilder nach wie vor um 90° usw. gedreht werden, erhalten wir ein Bild mit Rotationssymmetrie 2. Ordnung.

h) Alternative Betrachtungen der Kartenquartettraster

Bei der Betrachtung einer Kachelung in mehreren Reihen und mehreren Kolonnen kann der Raster repetitiver Quartettbilder zwischen zwei Alternativen wechseln. Es ist durchaus möglich, dass die ausgewählten Kartenquartette, die in den Doppelzeilen A ausgelegt werden, weniger Aufmerksamkeit auf sich ziehen, als die unabsichtlich in der Doppelzeile X um die Nahtlinie gebildeten Quartette.

i) Versatz von Doppelstreifen von Kartenquartetten um eine Kartenbreite

j) Überlappende diagonale Anordnung von Kartenquartetten

Diese Anordnung ist dann möglich, wenn die diagonal benachbarten Karten (hier passend zu den Karten i und iii im Schema a) identische Orientierung aufweisen. Mehrere nach diesem Prinzip aufgebaute diagonale Ketten können parallel und miteinander verzahnt zusammengelegt werden.

Nachfolgend wird ein rotationssymmetrisches Bild gezeigt, das ausgehend vom Quartett a nach dem Schema g erstellt wurde. Das Quartett wurde zu Beginn in das obere linke Viertel des Formats 4x4 eingesetzt:

Sie können mit demselben Quartett a an jeder anderen Ecke des 4x4-Formats beginnen. Die Ergebnisse unterscheiden sich voneinander.

Machen eine Entdeckung. Öffnen Sie das 8x8 Format. Bauen Sie in der oberen rechten Ecke ein nicht symmetrisches Quartett auf. Befolgen Sie die Anweisungen unter Schema g und erstellen Sie ein zweifach rotationssymmetrisches Bild. Kopieren Sie das fertige Quadrat in das freie Viertel oben links. Können Sie im Bild mit zweifach rotationssymmetrischen Mustern ein vierfach rotationssymmetrisches finden?

Der Charakter der punktsymmetrischen Bilder kann durch Umgestalten des zentralen Quartetts wesentlich verändert werden. Die Symmetrie des Gesamten wird beibehalten, wenn Sie die Bilder einer Kartengruppe um 90° oder ein mehrfaches davon drehen, sofern die Konturen der Gruppe selbst rotationssymmetrisch sind. Wenn Sie Änderungen ausprobieren und dabei kein Bild verlieren möchten, das Sie schön finden, speichern Sie es.

Die zuvor gezeigte vierzählige Spirale können Sie als Vorlage verwenden. Öffnen Sie das 8x8-Format und erstellen Sie zwei dieser Vorlagen im unteren und oberen linken Viertel. Legen Sie die nächste Kopie der Vorlage in einer beliebigen Höhe in den leeren Bereich rechts und füllen Sie den verbleibenden Bereich aus, als ob die Vorlagen um die Breite einer oder mehrerer Karten verschoben wären.

Schließlich können Sie mit noch größeren Formaten arbeiten, solange die Karten nicht zu klein geraten, um mit diesen zu spielen. Erstellen Sie die vierzählige Spirale in der Mitte oder irgendwo am Rand des ausgewählten Formats. Legen Sie nun Karten auf die freien Ränder der Kopie, um die weißen und schwarzen Bänder zu verlängern und sie umeinander zu falten, solange Platz vorhanden ist. Die Ergebnisse werden Sie verblüffen. Wenn dieses Spiel länger dauert als erwartet, speichern Sie das Bild, damit Sie später fortfahren können.

Beispiele: Mit den Karten von Card and cube #1 und #2 können Sie eine fast unbegrenzte Anzahl von Bildern erstellen. Hier sehen Sie einige Beispiele, die als "Screenshots" festgehalten worden sind:


Alternativ können die Bilder als .png-Bilddateien exportiert und gespeichert werden.

Im untersten Bildteil sind Spalten zu erkennen, die jeweils vier Karten breit sind. Im Bild benachbarte Spalten können als farbtauschsymmetrische Bildpaare betrachtet werden. Die Wirkung solcher Bilder kann durch Drehen um 45° und orthogonales Beschneiden eindrucksvoll verändert werden. Ein Beispiel derartiger Bearbeitung finden Sie  hier

Neue Bilder durch Drehen aller Karten um 90°: Card and cube #2 verfügt über eine Funktion, symbolisiert durch , deren Anwendung jede Karte an ihrer Stelle um 90° dreht. Nach vierfacher Betätigung des Funktionsbefehls erscheint das ursprüngliche Bild wieder. Nach zweifacher (180°) zeigt sich die farbtauschsymmetrische Version des Ausgangsbildes.

Die Erstellung der neuen Bilder wird unten anhand eines Ausschnitts in der Kartengröße 4x4 veranschaulicht. 

Das erste Bild zeigt eine 2-zählige Drehachse senkrecht zur Bildebene sowie eine vertikale und eine horizontale Spiegelebene. Durch die simultane Drehung aller Karten um 90° bleibt die Drehachse erhalten, die Spiegelebenen werden jedoch um 45° in die Diagonalen gedreht.

Das erste und das dritte sowie das zweite und das vierte Bildpaneel bilden jeweils ein farbtauschsymmetrisches Paar.

Kippbilder, Kippfiguren: Bei visueller Wahrnehmung von Bildern werden laufend neue Seheindrücke aufgenommen und im Gehirn verarbeitet. Infolgedessen kann ein Einzelbild unterschiedlich interpretiert werden, je nachdem, wie seine Bestandteile bekannten Strukturen zugeordnet werden. Wechselt die Zuordnung zwischen zwei Alternativen, sprechen wir von Kippbildern. Eines der bekanntesten Beispiele dieser Art ist der Necker-Würfel.

Mit dem Quartett „geneigte Sanduhr":

geht die Konstruktion eines Kippbildes etwa im Format 4x4 ganz einfach nach dem Schema c. Das Ergebnis ist erstaunlich.

Das resultierende Muster kann als mehrdeutig wahrgenommen werden. Was wir sehen, hängt davon ab, wie wir es betrachten. Bestimmte wahrgenommene Bildmotive wiederholen sich in diagonalen, andere in orthogonalen (vertikal und horizontal angeordneten) Rastern.

Betrachten wir das weiter oben vorliegende Quartett als eine Kombination von zwei vertikalen Kartenduos, wie in Schema b gezeigt: auf der linken Seite die Karte  i über der Karte iv und auf der rechten die Karte ii über der Karte iii. Jetzt bewegen wir das rechte Kartenduo auf die linke Seite des anderen. In beiden Fällen, vor und nach dem Tausch, haben wir auffällige symmetrische Bilder. Wenn mehrere solche Doppelkarten abwechselnd nebeneinander angeordnet sind, ist die Interpretation des Bildes bistabil.

Aus 4 Karten kann freilich auch eine stehende Sanduhr erstellt werden (Beispiele hier). Diese ist doppelt so groß, wie die „geneigte Sanduhr“, weil ihre trichterförmigen Teile aus jeweils zwei Dreiecken gebildet werden: aus zwei schwarzen oder aus zwei weißen. Die Quartette mit schwarzen bzw. weißen Sanduhren, nach Schema d aneinander gelegt, ergeben ein ähnliches Kippbild, wie die „geneigten Sanduhren“.

Marburger Kippbilder:

Kippbilder auf dem Schmuckboden in der Sakristei der Schlosskapelle und in der Sakristei der Elisabethkirche in Marburg. Die Abbildung zeigt A) Einen Teil des in der Sakristei der Marburger Schlosskapelle erhaltenen Schmuckbodens. B) Das entsprechende mit Card and cube #2 erstellte geometrische Muster. Der gelbe Rahmen in A und B verdeutlicht die Identität der beiden Muster. C) Ein weiterer Teil des dekorativen Bodens der Sakristei der Schlosskapelle. Wir danken dem Museum für Kulturgeschichte der Philipps-Universität Marburg für die Erlaubnis, Detailfotos des dekorativen Bodens der Sakristei der Schlosskapelle (A und C) zeigen zu dürfen. D) Eine Nachbildung des Musters A in der Sakristei der Elisabethkirche. Wir danken der Ev. Elisabethkirchengemeinde Marburg um Erlaubnis zur Veröffentlichung dieses Detailbildes.

In Marburger Elisabethkirche findet sich mehrfach Bodenschmuck, dessen Design auf zweifarbigen diagonal geteilten Quadraten basiert. Unter dem Schrein der hl. Elisabeth in der Sakristei ist der Schmuckboden besonders attraktiv. In seinem rekonstruierten Teil findet sich ein bemerkenswertes Muster aus schwarzen und gelblichen dreieckigen Fliesen. Die Interpretation der optischen Wahrnehmung des Musters wechselt (kippt) zwischen mehreren Alternativen. Die repetitiven Motive des Schmuckbodens zeigen sich entweder als ein Windrad- (Propeller), das in unterschiedlichen überlappenden Rastern erscheinen kann, oder als ein Sanduhrbild. Diese Strukturen erscheinen mal schwarz auf hellem Hintergrund, mal hell auf schwarzem. Das Vorbild des Musters geht auf die Antike (beispielsweise den Bodenschmuck der Cassa delle nozze d`argento in Pompeji) zurück.

Nach Karl Justi [6, S. 21] wurde der ursprünglich mit Stein ausgelegte Boden der Schlosskapelle und ihrer Sakristei im frühen 14. Jahrhundert „nach der Fertigstellung der Sakristei ... mit einem einzigartig kunstvollen Tonfliesenmosaik“ ausgestattet. Den Umbau wurde vom Münsteraner Bischof Ludwig II., veranlasst. Dieser war ein Urenkel der Elisabeth von Thüringen und Halbbruder des Marburger Landgrafen Otto. Nach 1311 verfügte er über Marburg. Daher ist es wahrscheinlich, dass zumindest Teile der auf der Burg erhaltenen Schmuckfußböden 700 Jahre alt sind.

Das Marburger Kippbild-Muster besteht aus diagonal geteilten zweifarbigen Quadraten, die jedoch aus dreieckigen schwarz und gelblich glasierten dreieckigen Fliesen erstellt worden sind. Die von Truchet 1704 beschriebenen zweifarbigen quadratischen Fliesen [3] standen den Marburger Fliesenlegern nicht zur Verfügung. Vorbilder ihrer Muster könnten die keramischen Fußböden der älteren Xantener Kirche St. Viktor [7, Abb. 67] und einige  römische Mosaiken in Köln [7, Abb. 269] gewesen sein. An Stelle von Stein wurden modernere und billigere (leider auch weniger haltbare) glasierte Dreiecksfliesen verwendet, derer Herstellungsweise zu uns aus Flandern gekommen ist. 

Mathematik: Muster, die nach einfachen Regeln aufgebaut werden können, werden als regel-basierte Bilder bezeichnet. Algorithmen und ihre Effizienz sind von Mathematikern eingehend untersucht worden, ebenso wie Logik und Rekursion. Beide eignen sich hervorragend zur Etablierung von regelbasierten Bildern. Ein Demonstrationsprogramm, das u. A. Truchet-Kacheln verwendet, ist von Eric W. Weisstein entwickelt worden [8].

In Bezug auf Interesse der Mathematik an den Befunden von S. Truchet und auf die Möglichkeit analog zu seinen Mustern 3D Kachelung zu entwerfen, verweisen wir auf einen Aufsatz von E.A. Lord und S. Ranganathan und die dort kommentierten Originalarbeiten [9].

Kunst: Das diagonal in ein schwarzes und ein weißes Dreieck geteilte Quadrat wurde als Modul in einer Serie von Gemälden von Horst Schwitzki (1932-2016) verwendet. Ein Gemälde aus dieser Serie wird hier gezeigt.

Inspiration und Freude: Parkettierung mit Card and cube #2 mag sowohl diejenigen inspirieren, die Ordnung lieben, organisieren und bewahren möchten als auch andere,  die immer das Neue suchen und gerne Elemente der Asymmetrie um sich platzieren oder in der Lage sind, eventueller Unordnung etwas Positives abzugewinnen. Zwischen den Extremen liegt die Würze, stellte der Kunsthistoriker E.H. Gombrich  auf seine Art fest: „Als die grundlegendste Tatsache der ästhetischen Erfahrung müssen wir letztendlich die Tatsache erklären, dass die Freude irgendwo zwischen Langeweile und Verwirrung liegt” [10, S.9].


LITERATUR

  1. Mukherjee, R. und Kodandaramaiah, U. (2015): What makes eyespots intimidating - The importance of pairedness. MC Evol Biol  2015, 15:34.
  2. Anderson, J.R. et al. (2005): Are Monkeys Aesthetists? Rensch (1957) Revisited.  J Exper Psychol Animal Behav Processes 31:71-80
  3. Truchet, S. (1704): Memoir sur les Combinaisons. Memoires de l´ Académie Royale des Sciences, 363-372
  4. Smith, C.S. und Boucher, P. (1987): The Tiling Patterns of Sébastien Truchet and the Topology of Structural Hierarchy. Leonardo 20, 373-385
  5. Douat, D. (1722): Méthode pour faire une infinité de Desseins différents avec des Carreaux mi- partis de deux Couleurs par une Ligne diagonale, ou Observations du Pere Dominique Douat Religieux Carme de la Province du Toulouse, Sur un Mémoire inseré dans l´Histoire de l´Académie Royale des Sciences de Paris l´année 1704, présenté par le Reverend Pere Sébastien Truchet, Religieux du même Ordre, Académicien honoraire. Paris
  6. Justi, K.: Das Marburger Schloss. Geschichte einer deutschen Burg. Veröffentlichungen der Historischen Kommission für Hessen und Waldeck XXI. N.G. Elwertsche Verlagsbuchhandlung, Marburg 1942
  7. Kier, H. (1970): Der mittelalterliche Schmuckboden. Rheinland Verlag, Düsseldorf
  8. Weisstein, Eric W."Truchet Tiling." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 
  9. Lord, E.A. und Ranganathan, S. (2006): Truchet tilings and their generalisations. Resonance, June 2006, 42-50
  10. Katharina Henkel (Hrsg.): Ich habe meinen Platz in der konkreten Malerei!“ Horst Schwitzki (1932–2016). Dr.Cantz'sche Verlagsgesellschaft mbH & Co KG, Berlin 2021, S. 145).
  11. Gombrich, E.H. (1994): The sense of order. A study in the psychology of decorative Art. 2nd ed. Phaidon Press Ltd., London

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Die Karten-App Card and cube #3

DIE KARTEN

Wie beim Spiel #2 können Sie mit unseren virtuellen Karten spontan ohne eine Anleitung gelesen zu haben spielen, geometrische Bilder zusammenstellen und sich an diesen erfreuen. Das Besondere bei Card and cube #3 ist die Möglichkeit eine aus 4 verschiedenen Spielfiguren bzw. Designs zu wählen:

Auf der Spielffläche können Sie die Spielfiguren drehen, um Bilder zu erzeugen.

Zwischen den Spielfiguren kann nur geschlossen gewechselt werden (auf einer Spielfläche kann man sie nicht kombinieren). Zusätzlich zu den jeweils vier Orientierungen, die auch im Spiel Card and cube #2 verwendet werden, können Sie schwarze und weiße Karten einsetzen.  

Durch wiederholtes Berühren oder Anklicken (>) wechseln die Karten ihre Orientierung. Die Figuren I, III und IV lassen sich jeweils dreimal um 90° drehen. Lediglich die Figur II (die Diagonale) wechselt zwischen nur zwei Orientierungen. Nach weiteren Klicks folgt der jeweiligen Figur eine schwarze und eine weiße Karte, dieser wiederum das Ausgangsbild.

Mittels eines Doppelklicks (<<) kann jede Drehung bzw. Veränderung rückgängig gemacht:

Das Spiel Card and cube #3 ist mobil - spielen können Sie alleine oder mit Freunden und praktisch überall, wenn Sie die Android- oder iOS-Version besitzen. Sie können auch parallel spielen, die Ergebnisse speichern und teilen - unabhängig davon, ob Sie mit Handy, an einem Windows PC, Laptop oder Tablet spielen.

ANLEITUNG

Kurz & bündig

Es stehen zwei Versionen zur Verfügung. Mit der kostenlosen Version 3F können Sie mit 4 bis 6 virtuellen Karten spielen. Mit der Premium-Version 3P haben Sie die Wahl, mit bis zu 600 virtuellen Karten zu spielen. Die Anweisungen ("i") sind in Englisch und Deutsch verfügbar.

An der oberen Bedienungsleiste stehen vier Designs der Karte zur Auswahl (gleich Anklicken). Wenn Sie mit Linien spielen, können Sie mit den Tasten und deren Breite einstellen.

Sobald Sie die virtuelle Karte auf dem Bildschirm angetippt oder angeklickt haben, stellt sich diese selbst vor. Folgen Sie den Vorschlägen und lernen Sie den Umgang mit der Karte und dem Format der Spielfläche. Die Vorführung können Sie  jede Zeit unterbrechen, um mit dem Spielen zu beginnen. Sie brauchen nur die Taste Zum Spiel, die während der Vorführung angezeigt wird, berühren oder anklicken und das Format wählen.

Durch Antippen besetzen Sie die Plätze mit Karten. Durch weiteres Antippen drehen Sie die Karten, um zusammenhängende schwarze und weiße Flächen zu erzeugen oder sie umzubauen. Mit wenigen  Werkzeugen können Sie ganz nach eigenem ästhetischen Empfinden markante schwarz-weiße Bilder in großer Vielfalt - mit oder ohne Wiederholung von Mustern - erstellen.

Sie können jederzeit zwischen den Designs wechseln. Während das Design geändert wird, bleibt die Ausrichtung der Karten erhalten. Die Vorführung kann über das Informationsmenü "i" wieder aufgerufen werden.

 Speichern – Speichern Sie das laufende Spiel und nutzen Sie dafür einen von 9 Speicherplätzen. Durch Antippen oder Anklicken eines leeren Speicherplatzes oder eines nicht mehr Benötigten wird Ihr laufendes Spiel dort gespeichert.

Projekte fortsetzen – eröffnet ein Pop-up Menü mit gespeicherten Projekten.

Speichern – Sie können einen Spielstand auch als Datei speichern. Wird dieser Menüpunkt gewählt, öffnet sich ein Dialog zur Auswahl des gewünschten Speicherorts.

Öffnen – über diesen Menüpunkt können Sie einen gespeicherten Spielstand laden. Wählen Sie die Datei in ihrem Speicherort, wird Ihr laufendes Spiel beendet und der gewünschte Spielstand geladen.

Exportieren – Über diesen Menüpunkt können Sie ein Bild Ihres aktuellen Spielstands im PNG Format erzeugen und speichern.

Mit der Taste zum Neueinstellen, eine Art Reset, können Sie die Spielfläche zu jeder Zeit aufräumen und über wiederholtes Anklicken entscheiden, ob Sie mit geordneten oder ungeordneten Karten (einem Zufallsbild), einer schwarzen oder einer leeren Spielfläche beginnen.

  Die Palette: Mit dieser Funktion können die Farben der ausgewählten Figur und des Hintergrunds über einen „Farbmischer“ eingestellt werden. Es werden hexadezimale Werte angezeigt, die Sie notieren möchten, falls Sie später darauf zurückgreifen möchten. Geben Sie in diesem Fall die aufgezeichneten Werte ein. In den unteren Farbfeldern des Menüs werden die zuletzt verwendeten Farben angezeigt, die durch Anklicken ausgewählt werden können.

Zeit- und Schrittzähler: Die Aufzeichnungen von Zeit und Bewegungen werden unten rechts angezeigt. Die Zählung beginnt mit dem ersten Zug. Durch Anklicken können Sie den Zeitzähler anhalten; Das Zählen wird fortgesetzt, sobald eine Karte berührt wird.

Anwendungen mit Aufgaben:

  • 1953!: "Befreiung" von politischen Häftlingen
  • Kompetitives Spielen: Um die Wette können Sie spielen, wenn Sie mit SpielpartnernInnen Strategie  zur Erstellung eines Bildes vereinbaren.

Das Ziel von Card and cube #3: Genießen Sie Ruhe und Entspannung. Lassen Sie Ihrer Kreativität freien Lauf und kosten die Ausstrahlung Ihrer Bilder aus. Sie können sofort anfangen zu spielen, der eigenen Intuition folgend. 

Viel Spaß!

 

IM SHOP FINDEN SIE VERSIONEN FÜR VERSCHIEDENE ENDGERÄTE.

TIPPS & DESIGN

Der Anfang: Sie können sofort „loslegen“, nach dem Sie die interaktive Vorstellung der Karte gesehen haben. Mit den folgenden Erläuterungen möchten wir Ihnen die Möglichkeiten des Spiels näher bringen.

Mobilität: Spielen kann man alleine oder mit Freunden und praktisch überall. Parallel spielen und Ergebnisse teilen können Sie unabhängig davon, ob Sie mit Handy (Android oder iOS), an einem Windows PC, Laptop oder Tablet spielen.

Kartenquartette: Auf der kleinstem Spielfläche (Format 2x2) lassen sich 4 Karten unterbringen. Diese Formation wird Kartenquartett oder einfach Quartett genannt. Mit der Ausnahme der Diagonale stehen für jede gewählte Figur 4 Orientierungen und zusätzlich das schwarze und das weiße Quadrat zur Verfügung. Bei den 6 Möglichkeiten lassen sich 1.296 verschiedene Kartenquartette erstellen.

Probieren Sie es mit einem Satz von 4 quadratischen Dreieckduo Karten aus! Drehen Sie die Karten, um interessante Bilder zu finden. Geben Sie Ihrer Phantasie freien Lauf und benennen Sie die Quartette, die Sie an bekannte Formen oder Gegenstände erinnern.

Symmetrische schwarz-weiße und farbige Bilder: Das anschließend gezeigte Bild wurde im Format 2x2 mit Figur I spielend einfach durch Antippen der Neueinstellung-Taste  erzeugt. 

Es ist ein einfaches Quartettbild, das aus 4 gleich orientierten Dreieck-Karten besteht. Das Bild ist weder horizontal noch vertikal spiegelsymmetrisch. Zwei dreieckige Hälften spiegeln sich an der Diagonale, die von links oben nach rechts unten verläuft. Die andere Diagonale teilt das Quartett auch in zwei Dreiecke. Ihre Spiegelung ist mit einem Farbtausch verbunden: Schwarz gegen weiß und umgekehrt: 

Das eben gezeigte Bild erscheint Mal als vier schwarze Dreiecke, Mal als ein schwarz-weißer auf Kippe stehender Doppelkegel. Auf Grund der alternativen Interpretationmöglichkeiten kann es als ein Kippbild bezeichnet werden.

Zu jeder Zeit während des Spiels kann das aktuelle Bild durch Einstellung der Farben und duch Wechsel der Figur in zahlreiche Varianten umgewandelt werden:

Bei Verwendung der Figur IV kann die eventuelle Symmetrie eines Bildes aufgehoben werden.

Das nächste Quartett  (ein „Bäumchen“) ist horizontal spiegelsymmetrisch (die Spiegelung erfolgt um die senkrechte Mittellinie). Es läßt sich aus dem weiter oben gezeigten Quartett durch Drehen der zwei auf der rechten Seite vorliegenden Karten um jeweils 90° erstellen. Das "Bäumchen" in schwarz-weiß und seine durch Farbeinstellung oder Figurentausch erstellten Varianten werden hier gezeigt:

Unter den schon erwähnten 1.296 Quartetten mit sechs Karten der Figur I gibt es 256, die auf die eine oder andere Art symmetrisch sind. Interessanterweise sind es meist die aus gepaarten Teilen bestehenden symmetrischen Bilder, die unsere Aufmerksamkeit an sich ziehen. (Dabei ist der Mensch nicht das einzige Lebewesen, das ästhetische Phänomene nicht mit Gleichgültigkeit wahrnimmt [1]. Die Rezeption symmetrischer Bilder mag tief in der Evolution verwurzelt sein: “two is a biologically significant number that is important in prey-predator signalling” - zwei (wie zwei Augen) ist eine biologisch bedeutende Zahl, da sie bei der Wahrnehmung der Jäger-Gejagte Rollen im Spiel ist [2].)

Übungen: Wählen Sie das Format 2x2, erstellen Sie verschiedene Kartenquartette mit Figur I. Wechseln Sie zu anderen Figuren und zurück. Dann wechseln Sie zum Format 4x4 mit Figur I und füllen die Spielfläche mit 4 Kopien eines selbst gewählten Quartetts auf. Eine Überraschung wird Sie erwarten, wenn Sie es mit Varianten des „Bäumchen“ - Quartetts tun. Platzieren Sie ein „Bäumchen“ oben rechts. Links daneben erstellen Sie eine liegende Variante, als würden Sie das „Bäumchen“ nach links umkippen. Dann in der unteren linken Ecke ein auf Kopf gestelltes und zum Schluss unten rechts ein auf die rechte Seite umgekipptes. Schauen Sie das Ergebnis an. Was entdecken Sie in der Mitte des Bildes?

Mit den weiter oben beschriebenen 6 Gestaltungsmöglichkeiten der Figur I-Karte des Spiels Card and cube #3 lassen sich sechs punkt- bzw. rotationssymmetrische Quartette mit einer 4-zähligen Drehachse (C4) erstellen. Wählen Sie das 6x6 Format, belegen Sie die Fläche mit den weißen Karten und versuchen Sie in der Mitte der Spielfläche ein Quartett zu erstellen, das punktsymmetrisch ist. Im nächsten Schritt legen Sie dessen Ecken die fünfte bis achte Karte so an, dass die Rotationssymmetrie wie bei einem Schaufelrad erhalten bleibt. Setzen Sie die Erweiterung nach gleichem Prinzip fort, bis Sie das Format mit 6x6 Karten ausgefüllt haben.

Finden sie Gefallen an einem Paar gleicher nebeneinander oder übereinander gelegter Kartenquartette, versuchen Sie entlang der längeren Kante ein Negativbild aus weiteren 8 Karten anzulegen. Fällt Ihnen die Erstellung des Negativbildes schwer, machen Sie es sich hiermit leicht: Im ersten Schritt verdoppeln Sie das Bild und im zweiten drehen Sie alle Karten der Kopie einzeln und nacheinander so, dass die symmetrische Spitze des schwarzen Dreiecks an die Stelle kommt wo in der Vorlage die des weißen sich befand, bzw. die schwarzen Quadrate mit den weißen ersetzt werden und umgekehrt. Fertig!

Fangen Sie mal mit einem ungeordneten Kartenbild (einem Zufallsbild) an. Von Karte zu Karte ändern Sie die gesamte Spielfläche, bis das Ergebnis Ihren Vorstellungen entspricht oder einfach gefällt. Alternativ können Sie ein oder zwei selbst ausgewählte Kartenquartette nach den Regeln der Parkettierung  kombinieren.

Übung für Fortgeschrittene: Eröffnen Sie Card and cube #3, wählen Sie das Format 8x8 mit Figur I, die Eröffnungsspielfläche ganz weiß. In der unteren linken Ecke der Spielfläche erstellen Sie das hier gezeigte Kartenquartett, das an einen gekippten weißen Doppelkegel erinnert:

In den nächsten 4 Etappen bauen Sie ein ansehnliches, die ganze Spielfläche ausfüllendes, Bild auf. Aus dem Quartettbild und mit den immer größere Flächen einnehmenden Zwischenergebnissen erstellen Sie nacheinander: 1. Negativbild (s. weiter oben) der horizontalen Spiegelung, 2. Negativbild der vertikalen Spiegelung, 3. horizontale Spiegelung und 4. vertikale Spiegelung des vorherigen Bildes. Mit den ersten zwei Schritten vervierfachen Sie die Fläche des ursprünglichen Quartetts unter Beibehaltung seiner diagonalen Spiegelsymmetrie. Mit den weiteren zwei stellen Sie ein jeweils 4-fach dreh- und spiegelsymmetrisches Bild (Punktgruppe C4v)–– fertig. Sie werden einige Minuten benötigen, um die 64 virtuelle Spielkarten richtig zu platzieren. Dann sehen Sie den Doppelkegel an zahlreichen Stellen. Lassen Sie sich überraschen: wenn Sie das fertige  Bild mehrfach anschauen, entdecken Sie andere Motive. Viel Spaß ohne Adrenalin!

Das Ergebnis mit Figur I wird hier nicht gezeigt, weil wir davon ausgehen, dass Sie das schöne Bild selbst erstellen möchten. Statt dessen zeigen wir farbige Varianten mit den Figuren III und IV:

Anbei finden Sie eine weitere Quelle von Inspiration.

Das Spielen mit Card and cube #3, trägt zu guter Stimmung und  Laune bei; es fördert Gelassenheit, innere Ruhe und Zufriedenheit - als wäre ein Glückshormon im Spiel.

Allerdings, wenn´s  sein muss, Bewältigung einer Aufgabe oder Wetteifern geht auch: 

GULAG 1948 und Zur Freiheit! Mit diesen beiden Spielen wollen wir den Willen Demokratie bewusst zu Leben und aktiv zu verteidigen unterstützen. Die politische Realität vieler Länder macht uns bewusst, dass die Demokratie mehr Schutz und Unterstützung braucht, als sie erfährt. Im Spiel, so hoffen wir, können junge Leute für diese Probleme sensibilisiert werden. Gespielt wird auf labyrinthartigen virtuellen Spielvorlagen mit einem oder mehreren umschlossenen Bereichen, die Gefängnisse symbolisieren. Diese werden mit der Figur II (Diagonale) und der Zufallsfunktion erzeugt. Anweisungen finden Sie im nächsten Kapitel.

Gulag ist ein Symbol der Unterdrückung und Vernichtung politischer Gegner. Obwohl sich der Begriff auf die nicht mehr existierende Sowjetunion bezieht, wird politischer Widerstand von allen Diktatoren gewaltsam unterdrückt. Ihre Zahl ist leider nicht gering. Weitere Informationen, Beispiele aus der Geschichte des Umgangs von Diktatoren mit Dissidenten, Beispiele aus der Geschichte des antiimperialen tschechoslowakischen Widerstands sowie Links zu wichtigen Quellen finden Sie hier.

Ein Spiel ums Gewinnen: Vereinbaren Sie mit einer oder mehreren Personen, die diese App an ihren Geräten installiert haben, eine Aufgabe, mit der ein Quartett vervielfacht und dabei systematisch umgewandelt wird (s. Übung für Fortgeschrittene). Sie einigen sich auf ein Ausgangsquartett, die Größe der Spielfläche und die Art der Umwandlungen. Zur Einstimmung und zum Vergleich des Ergebnisses erstellen Sie Fotoaufnahmen (s. weiter unten), die den Mitspielern zugesandt werden. Danach können alle - eigentlich egal wann - anfangen und am Ende ihre Bilder aufnehmen. Bei korrektem Ergebnis wird der erste Platz durch den Vergleich der benötigten Zeit und bei Gleichheit der Zeit durch die geringere Anzahl der Schritte bestimmt. Tauschen Sie sich über die optischen Eindrücke und Wahrnehmung des Ergebnisses aus.

Speicherung: Vor dem Beenden der App kann das Ergebnis gespeichert werden. Vorsicht, ohne Speicherung geht das Bild verloren, sobald Sie ein neues Format wählen.

Kein Bild muss "fertig" sein. Wenn Sie ein Bild gespeichert haben, das Ihnen gefallen hat, können es Sie mal später wieder öffnen und beispielsweise nur seine Mitte umgestalten. Sie können das veränderte Bild an Stelle des früheren speichern. Wenn Ihnen die Änderung nicht zusagt, verwerfen Sie es, in dem Sie ein neues Format wählen. Das vorhin gespeicherte Bild können Sie bei Gelegenheit erneut öffnen.

Foto: An den meisten Geräten können Sie jedes fertiggestellte Bild, das Ihnen gefällt, mit dem Befehl Bildschirmkopie (print screen) im jpeg Format festhalten. Eine solche Kopie wird benötigt, wenn Sie mit Freunden kompetitiv spielen möchten. 

Design: Bei den mit Card and cube erstellten Mustern kann durch Drehen und Schneiden eine besondere Wirkung erreicht werden (ein Beispiel).

FREIHEIT vs GULAG

Die Beschreibung der Spiele, GULAG 1948 und Zur Freiheit! findet sich HIER

 

ERGÄNZUNGEN

Design und Vorgeschichte der Karten von Card and cube #3: Für die Spielfiguren I und II der virtuellen Karten gibt es Vorbilder. Figur I, das diagonal geteilte Quadrat bzw. das Dreieckduo, wird in den Spielen Card and cube #1 und #2 sowie #3 als analoge bzw. virtuelle Spielkarte verwendet. Derer Entwurf ging auf keramische Module mit Lentoiden zurück, aus denen Hana Hasilik mehrere Bodenplastiken, z. B. Linie, 2004, erstellt hatte (s. ERGÄNZUNGEN bei Card and cube #1).

Dekorative Muster dieser Art haben sich aus der Antike und dem Mittelalter erhalten. Im ausgehenden 17. Jahrhundert sind zweifarbige Kacheln mit Dreiecken als Baudekoration verwendet worden. Beispiele solcher Kacheln sind dem dominikanischen Priester, Mönch, Mathematiker und Graphiker Sébastien Truchet (1657-1729) bei einem Spaziergang unweit von Orléans aufgefallen: "Während der letzten Reise, die ich im Auftrag Seiner Königlichen Hoheit zum Kanal D´Orléans unternahm, fand ich in einem Schloss namens Motte St. Lyé, 4 Meilen von Orléans entfernt, mehrere Keramikfliesen, die zum Fliesenlegen des Bodens einer Kapelle und mehrerer anderen Räume benutzt worden sind. Sie hatten eine quadratische Form und waren durch eine diagonale Linie in zwei farbige Teile unterteilt." Truchet analysierte die möglichen Kombinationen der Kacheln graphisch und mathematisch [3, 4]. Er definierte Paare von Kacheln, die in verschiedenen Abfolgen bei regelmäßigem Auslegen schöne Muster gebildet haben. Wenige Jahre nach ihm, 1722, präsentierte Pater Dominique Douat eine minutiöse mathematische Analyse [5] der Möglichkeiten der Erstellung von graphischen Mustern mit den von Sébastien Truchet beschriebenem Design von Kacheln.

Für dekorative Zwecke ist von Truchet auch die diagonale Linie (Figur II) eingesetzt worden.  Im Spiel Card and cube #3 lässt sich an der virtuellen Karte mit dieser Figur die Breite der Linie einstellen. Weitere Varianten der Truchetschen Kacheln finden sich auf Internetseiten beispielsweise der englischen Wikipedia.

Im 20. Jahrhundert ist auf die Muster von Truchet der Kunsthistoriker Ernst H. Gombrich aufmerksam gemacht worden. In seinem Buch The sense of order [6] hat er mehr als die psychologische Wirkung und den Einfluss der geometrischen dekorativen Kunst auf den Kunsthandwerk und verschiedene Kunstrichtungen wie Op-Art beschrieben und analysiert. Beeindruckt zeigte er sich von der fast „ad infinitum“ gehenden Permutation der Kachelungsmuster. Es ist dem Kunsthistoriker nicht entgangen, dass die vier Orientierungen, die in den quadratischen Mustern genutzt werden, das zentrale Phänomen der Biologie wiederspiegeln. Er deutete an, sie könnten als ein Sinnbild der Grundbausteine der Erbsubstanz betrachtet werden. Es gibt 64 Tripletts, die die Weitergabe der genetischen Information bei der Proteinsynthese ermöglichen und genauso viele Möglichkeiten drei Kacheln mit dem zweifarbigen Dreieckpaar nebeneinander zu legen. Werden Einheiten aus mehreren Kacheln oder Karten zusammengestellt, ist die Zahl entsprechend höher (464 fürs Format 8x8).

Kachelung: Das Quadrat ist eine der Grundformen einer platonischen Parkettierung, bzw. Kachelung. Bei dieser werden in der Regel definierte Formen, gleichseitige Dreiecke, Quadrate oder Sechsecke, in ausgewählten Gestaltungen abwechselnd eingesetzt. Die virtuellen Karten sowie die Legekarten von cardandcube bieten die Möglichkeit an Stelle des Quadrats die einzelnen Karten oder aus diesen zusammengesetzte größere Flächen einzusetzen. Der weiter oben erwähnte Sébastien Truchet hat eine Reihe von Mustern entworfen, bei denen er Einheiten aus zwei bis 10x10 Kacheln verwendet hat [4].

Die virtuellen cardandcube Spiele bringen verschiedene drehbare Figuren auf den Bildschirm. Mit den vier möglichen Orientierungen der Karten gibt  es jeweils vier monotone Möglichkeiten der Parkettierung, die sich letztendlich nur in der Ausrichtung der Figur auf der parkettierten Fläche unterscheiden. Aus jeweils zwei Karten  können bei Card and cube #2 ganze 16 und bei Card and cube #3 sogar 36 verschiedene „Kartenduos“ gebildet werden, mit denen relativ einfache Parkettmuster erstellt werden können. Sie können die sich bietenden Möglichkeiten schnell erkunden, in dem Sie zwei Karten irgendwie nebeneinander legen und anschließend gleiche Kartenduos wiederholt nebeneinander aufreihen, gleiche Reihen aneinander bündig oder versetzt, eventuell um 180° gedreht, legen.

Wesentlich interessanter als die Verwendung von Kartenduos ist die Kachelung mit einem oder zwei Kartenquartetten als Einheiten. Dabei können Sie bei Card and cube #2 aus 256 bzw. 1.296 Möglichkeiten wählen. Bei der Kachelung werden solche Einheiten von Kartenquartetten lückenlos neben- und übereinander gelegt. Bei den aktuellen cardandcube Spielen werden alle Quartette aus den einzelnen Karten erstellt. Ein copy-and-paste Verfahren zur Vervielfachung und Verlegung von Quartetten wird entwickelt.

Eine schematische Darstellung von Beispielen, wie die Quartette bei der Kachelung auf der Spielfläche verlegt werden können, findet sich weiter unten. Mit einigen Hinweisen möchten wir Sie ermutigen, eigenständig zu spielen.

Die Verwendung von Kartenquartetten ermöglicht es, durch die Kachelung ungeahnt viele geometrische Bilder oder Muster zu entwerfen. Eine wesentliche Rolle bei der Anordnung der Kacheln spielt dabei die Regelmäßigkeit sowie die Abwechslung, und darüber hinaus die horizontale, vertikale oder rotationssymmetrische Anordnung der virtuellen Karten.

Verschiedene Beispiele von Kachelung mit Kartenquartetten:
a) Beispiel eines Kartenquartetts

Dieses Quartett erinnert an ein offenes Buch oder an einen pickenden Vogel. Nehmen wir den Buchstaben A als ein Symbol des Quartetts. Wenn dieses Bild um 90° gedreht wird, resultiert daraus ein anderes Quartett. Wir werden es mit umgekipptem Buchstaben A symbolisieren (siehe g weiter unten).

b) Schema eines Kartenquartetts mit eingezeichneter Sequenz der  einzelnen Karten, i-iv

c) Parallele oder monotone Anordnung, Wiederholung eines Kartenquartetts, A,  in Reihen und Säulen

Wenn Sie diese Anordnung mit dem Format 8x8 und dem Quartettbeispiel a ausprobieren, werden Sie überrascht sein. In dem fertigen Bild wird es kaum möglich sein, die Vorlage zu erkennen. Das Gesamtbild wird von zusammengelegten gleichfarbigen Flächen beherrscht sein.

Auf Grund der Unterteilung ist es möglich benachbarte Reihen oder Säulen von Quartetten um eine Kartenbreite zu versetzen. Die Verschiebung kann zu markanten Veränderungen der an den Nahten der Reihen gebildeten Muster führen (vergleiche das Schema im Absatz g.)

d) Abwechselnde Anordnung von zwei verschiedenen Kartenquartetten, A und B

Auf größeren Formaten können Sie mit etwas Phantasie zahlreiche Variationen der Anordnung d ausprobieren. Statt zwei können Sie drei verschiedene Quartette, A, B, C über einander „stapeln“ und mit dieser Formation, einer länglichen Kachel, das ganze Format ausfüllen. Die nebeneinander liegenden Kacheln können in der Höhe entweder bündig oder um eine oder mehrere Karten versetzt verlegt werden. Wenn die Kacheln in geraden horizontalen Streifen übereinander liegen, können die Quartette, die entlang der Naht benachbarter Streifen liegen, entweder bündig oder versetzt (s. j weiter unten) angeordnet werden.

e) Vertikal parallele Anordnung von zwei verschiedenen Kartenquartetten, A und B

Bei dieser Anordnung empfehlen wir das Kartenquartett B als ein Negativ des Spiegelbildes von A zu gestalten (man kann neben dem Kartenquartett A dessen Spiegelbild anlegen und dann jede einzelne Karte des Spiegelbildes um 180° drehen, bzw. schwarz und weiß austauschen.

f) Antiparallele Anordnung (eine Säule mit den Kartenquartetten wurde um den Zentralpunkt  um 180° gedreht)

g) Rotationssymmetrische Anordnung von 4 Quartetten

Anfangs wird ein Kartenquartett im oberen linken Viertel des 8x8-Formats angelegt. Die nächsten folgen im Uhrzeigersinn wobei sie als Kopien der ersten aufgebaut und jeweils um 90°, 180° und 270° gedreht werden. Das Ergebnis ist ein Bild mit Rotationssymmetrie 4. Ordnung.

Wenn wir im oberen rechten Viertel des Formats beginnen und gegen den Uhrzeigersinn vorgehen, wobei die Quartettbilder nach wie vor um 90° usw. gedreht werden, erhalten wir ein Bild mit Rotationssymmetrie 2. Ordnung.

h) Alternative Betrachtungen der Kartenquartettraster

Bei der Betrachtung einer Kachelung in mehreren Reihen und mehreren Kolonnen kann der Raster repetitiver Quartettbilder zwischen zwei Alternativen wechseln. Es ist durchaus möglich, dass die ausgewählten Kartenquartette, die in den Doppelzeilen A ausgelegt werden, weniger Aufmerksamkeit auf sich ziehen, als die unabsichtlich in der Doppelzeile X um die Nahtlinie gebildeten Quartette.

i) Versatz von Doppelstreifen von Kartenquartetten um eine Kartenbreite

j) Überlappende diagonale Anordnung von Kartenquartetten

Diese Anordnung ist dann möglich, wenn die diagonal benachbarten Karten (hier passend zu den Karten i und iii im Schema a) identische Orientierung aufweisen. Mehrere nach diesem Prinzip aufgebaute diagonale Ketten können parallel und miteinander verzahnt zusammengelegt werden.

Nachfolgend wird ein rotationssymmetrisches Bild gezeigt, das ausgehend vom Quartett a nach dem Schema g erstellt wurde. Das Quartett wurde zu Beginn in das obere linke Viertel des Formats 4x4 eingesetzt:

Sie können mit demselben Quartett a an jeder anderen Ecke des 4x4-Formats beginnen. Die Ergebnisse unterscheiden sich voneinander.

Machen eine Entdeckung. Öffnen Sie das 8x8 Format. Bauen Sie in der oberen rechten Ecke ein nicht symmetrisches Quartett auf. Befolgen Sie die Anweisungen unter Schema g und erstellen Sie ein zweifach rotationssymmetrisches Bild. Kopieren Sie das fertige Quadrat in das freie Viertel oben links. Können Sie im Bild mit zweifach rotationssymmetrischen Mustern ein vierfach rotationssymmetrisches finden?

Der Charakter der punktsymmetrischen Bilder kann durch Umgestalten des zentralen Quartetts wesentlich verändert werden. Die Symmetrie des Gesamten wird beibehalten, wenn Sie die Bilder einer Kartengruppe um 90° oder ein mehrfaches davon drehen, sofern die Konturen der Gruppe selbst rotationssymmetrisch sind. Wenn Sie Änderungen ausprobieren und dabei kein Bild verlieren möchten, das Sie schön finden, speichern Sie es.

Die zuvor gezeigte vierzählige Spirale können Sie als Vorlage verwenden. Öffnen Sie das 8x8-Format und erstellen Sie zwei dieser Vorlagen im unteren und oberen linken Viertel. Legen Sie die nächste Kopie der Vorlage in einer beliebigen Höhe in den leeren Bereich rechts und füllen Sie den verbleibenden Bereich aus, als ob die Vorlagen um die Breite einer oder mehrerer Karten verschoben wären.

Schließlich können Sie mit noch größeren Formaten arbeiten, solange die Karten nicht zu klein geraten, um mit diesen zu spielen. Erstellen Sie die vierzählige Spirale in der Mitte oder irgendwo am Rand des ausgewählten Formats. Legen Sie nun Karten auf die freien Ränder der Kopie, um die weißen und schwarzen Bänder zu verlängern und sie umeinander zu falten, solange Platz vorhanden ist. Die Ergebnisse werden Sie verblüffen. Wenn dieses Spiel länger dauert als erwartet, speichern Sie das Bild, damit Sie später fortfahren können.

Design: cardancube #3 macht es einfach, neuartige Muster zu entwerfen. Wir zeigen dies am Beispiel eines „Grundmusters“, dessen Abbild wir aus einer quadratischen Kartenformation und einer einzelnen Karte (n2 + 1) erstellt haben, wie unten beschrieben.

Zunächst wird das Format 8x12 mit Design I ausgewählt. Dann wird ein Grundmuster nach der Formel 9+1 aufgebaut (siehe den roten Rahmen in Tafel I unten). Es besteht aus einem Quadrat von 3x3 Karten, einem Karten-Nonett, und einer Einzelkarte, die an einer Ecke dieses Nonetts lehnt. Weiter kann man mit Fantasie viele Entwürfe machen. Wir wählen die Einzelkarte in schwarz. Die mittlere Karte des Nonetts ebenso. In die vier Ecken des Nonetts legen wir Karten mit schwarzen und weißen Dreiecken, so dass die Schwarzen seine Spitzen bilden. Die anderen 4 Randkarten des Nonetts wählen wir weiß. Somit haben wir ein rotationssymmetrisches Nonett konstruiert.

Eine Kopie des Grundmusters wird mit ihrer oberen rechten Ecke unter die zehnte (schwarze) Karte der Grundmusters gelegt. Entsprechend versetzt werden alle übrigen Einheiten oder ihre passende Teile in das gewählte Format eingesetzt. Das Ergebnis kann mit wenigen Klicks in den Designs II - IV ausgeführt werden. Die Einstellung der Liniendicke ermöglicht eine Anpassung des Ergebnisses an individuelle Bedürfnisse (s. Design II und II d):

Eine Belohnung für das Ausfüllen des ausgewählten Formats kommt beim Betrachten des fertigen Gesamtbildes zustande. Dabei werden Bildmotive sichtbar, die über das Grundmuster hinaus geformt werden. Manchmal lässt sich das gesamte Format in verschiedene Raster unterteilen, in denen unterschiedliche Motive entstehen.

Nicht nur durch Drehen einzelner Karten, sondern auch durch Einstellung verschiedener Farben der Figur und des Hintergrunds lassen sich mit Card and cube #3 im Nu Bildvarianten erstellen:

Die Farben lassen sich mittels hexadezimaler Farbcodierung genau einstellen. Im folgenden Beispiel wurden Varianten eines Bildes durch Wechsel des Figurendesigns erstellt. Zusätzlich wurden die Farben variiert:

Die Beispiele zeigen die Grundfarben, die von Piet Mondrian vor ein Hundert Jahren schon verwendet worden sind (ihre Codes finden Sie hier).

Sie können Card and cube #3 für eigene Design-Kreationen nutzen. Zur Probe ändern Sie nur das Grundmuster. Danach können Sie die Figur ändern und neue charmante Designs erstellen. Vielleicht möchten Sie einen Dekor für einen Stoff, Tischset, Serviette, Tapete, Handtuch oder was auch immer selbst entwerfen und in Ihren Wunschfarben herstellen lassen.

Kippbilder, Kippfiguren: Bei visueller Wahrnehmung von Bildern werden laufend neue Seheindrücke aufgenommen und im Gehirn verarbeitet. Infolgedessen kann ein Einzelbild unterschiedlich interpretiert werden, je nachdem, wie seine Bestandteile bekannten Strukturen zugeordnet werden. Wechselt die Zuordnung zwischen zwei Alternativen, sprechen wir von Kippbildern. Eines der bekanntesten Beispiele dieser Art ist der Necker-Würfel.

Auch unter den geometrischen Bildern von Card and cube #2 lassen sich Kippbilder erstellen. Mit dem Quartett „geneigte Sanduhr":

geht die Konstruktion eines Kippbildes etwa im Format 4x4 ganz einfach nach dem Schema c. Das Ergebnis ist erstaunlich.

Das resultierende Muster kann als mehrdeutig wahrgenommen werden. Was wir sehen, hängt davon ab, wie wir es betrachten. Bestimmte wahrgenommene Bildmotive wiederholen sich in diagonalen, andere in orthogonalen (vertikal und horizontal angeordneten) Rastern.

Betrachten wir das weiter oben vorliegende Quartett als eine Kombination von zwei vertikalen Kartenduos, wie in Schema b gezeigt: auf der linken Seite die Karte  i über der Karte iv und auf der rechten die Karte ii über der Karte iii. Jetzt bewegen wir das rechte Kartenduo auf die linke Seite des anderen. In beiden Fällen, vor und nach dem Tausch, haben wir auffällige symmetrische Bilder. Wenn mehrere solche Doppelkarten abwechselnd nebeneinander angeordnet sind, ist die Interpretation des Bildes bistabil.

Aus 4 Karten kann freilich auch eine stehende Sanduhr erstellt werden (Beispiele hier). Diese ist doppelt so groß, wie die „geneigte Sanduhr“, weil ihre trichterförmigen Teile aus jeweils zwei Dreiecken gebildet werden: aus zwei schwarzen oder aus zwei weißen. Die Quartette mit schwarzen bzw. weißen Sanduhren, nach Schema d aneinander gelegt, ergeben ein ähnliches Kippbild, wie die „geneigten Sanduhren“.

Marburger Kippbilder:

Kippbilder auf dem Schmuckboden in der Sakristei der Schlosskapelle und in der Sakristei der Elisabethkirche in Marburg. Die Abbildung zeigt A) Einen Teil des in der Sakristei der Marburger Schlosskapelle erhaltenen Schmuckbodens. B) Das entsprechende mit Card and cube #2 erstellte geometrische Muster. Der gelbe Rahmen in A und B verdeutlicht die Identität der beiden Muster. C) Ein weiterer Teil des dekorativen Bodens der Sakristei der Schlosskapelle. Wir danken dem Museum für Kulturgeschichte der Philipps-Universität Marburg für die Erlaubnis, Detailfotos des dekorativen Bodens der Sakristei der Schlosskapelle (A und C) zeigen zu dürfen. D) Eine Nachbildung des Musters A in der Sakristei der Elisabethkirche. Wir danken der Ev. Elisabethkirchengemeinde Marburg um Erlaubnis zur Veröffentlichung dieses Detailbildes.

In Marburger Elisabethkirche findet sich mehrfach Bodenschmuck, dessen Design auf zweifarbigen diagonal geteilten Quadraten basiert. Unter dem Schrein der hl. Elisabeth in der Sakristei ist der Schmuckboden besonders attraktiv. In seinem rekonstruierten Teil findet sich ein bemerkenswertes Muster aus schwarzen und gelblichen dreieckigen Fliesen. Die Interpretation der optischen Wahrnehmung des Musters wechselt (kippt) zwischen mehreren Alternativen. Die repetitiven Motive des Schmuckbodens zeigen sich entweder als ein Windrad- (Propeller), das in unterschiedlichen überlappenden Rastern erscheinen kann, oder als ein Sanduhrbild. Diese Strukturen erscheinen mal schwarz auf hellem Hintergrund, mal hell auf schwarzem. Das Vorbild des Musters geht auf die Antike (beispielsweise den Bodenschmuck der Cassa delle nozze d`argento in Pompeji) zurück.

Nach Karl Justi [6, S. 21] wurde der ursprünglich mit Stein ausgelegte Boden der Schlosskapelle und ihrer Sakristei im frühen 14. Jahrhundert „nach der Fertigstellung der Sakristei ... mit einem einzigartig kunstvollen Tonfliesenmosaik“ ausgestattet. Den Umbau wurde vom Münsteraner Bischof Ludwig II., veranlasst. Dieser war ein Urenkel der Elisabeth von Thüringen und Halbbruder des Marburger Landgrafen Otto. Nach 1311 verfügte er über Marburg. Daher ist es wahrscheinlich, dass zumindest Teile der auf der Burg erhaltenen Schmuckfußböden 700 Jahre alt sind.

Das Marburger Kippbild-Muster besteht aus diagonal geteilten zweifarbigen Quadraten, die jedoch aus dreieckigen schwarz und gelblich glasierten dreieckigen Fliesen erstellt worden sind. Die von Truchet 1704 beschriebenen zweifarbigen quadratischen Fliesen [3] standen den Marburger Fliesenlegern nicht zur Verfügung. Vorbilder ihrer Muster könnten die keramischen Fußböden der älteren Xantener Kirche St. Viktor [7, Abb. 67] und einige  römische Mosaiken in Köln [7, Abb. 269] gewesen sein. An Stelle von Stein wurden modernere und billigere (leider auch weniger haltbare) glasierte Dreiecksfliesen verwendet, derer Herstellungsweise zu uns aus Flandern gekommen ist. 

Kunst: Das diagonal in ein schwarzes und ein weißes Dreieck geteilte Quadrat wurde als Modul in einer Serie von Gemälden von Horst Schwitzki (1932-2016) verwendet. Ein Gemälde aus dieser Serie wird hier gezeigt.

Klassiker: Schachbrett- und Vichy-Muster werden seit Jahrtausenden zur Verzierung von Textilien benutzt. Das Schachbrettmuster läßt sich in diagonalem Raster (mit unseren diagonal geteilten quadratischen Karten)  sowohl mit Card and cube #2 als auch #3 erstellen. Im orthogonalem Raster kann es (mit schwarzen und weißen Quadraten) im Spiel #3 erstellt werden (Hilfe).

Das Vichy-Muster (Houndstooth) wird Sie verzaubern. Wählen Sie beispielsweise das Format 8x12. In einer der Ecken erstellen Sie mit Card and cube #3 das Grundbild aus 4x4 Karten (Hilfe). Dann füllen Sie das ganze Format nach dem Schema c mit Kopien dieses Bildes aus.

Mathematik: Muster, die nach einfachen Regeln aufgebaut werden können, werden als regel-basierte Bilder bezeichnet. Algorithmen und ihre Effizienz sind von Mathematikern eingehend untersucht worden, ebenso wie Logik und Rekursion. Beide eignen sich hervorragend zur Etablierung von regelbasierten Bildern. Ein Demonstrationsprogramm, das u. A. Truchet-Kacheln verwendet, ist von Eric W. Weisstein entwickelt worden [8].

In Bezug auf Interesse der Mathematik an den Befunden von S. Truchet und auf die Möglichkeit analog zu seinen Mustern 3D Kachelung zu entwerfen, verweisen wir auf einen Aufsatz von E.A. Lord und S. Ranganathan und die dort kommentierten Originalarbeiten [9].

Inspiration und Freude: Parkettierung mit Card and cube #2 oder #3 mag sowohl diejenigen inspirieren, die Ordnung lieben, organisieren und bewahren möchten als auch andere,  die immer das Neue suchen und gerne Elemente der Asymmetrie um sich platzieren oder in der Lage sind, eventueller Unordnung etwas Positives abzugewinnen. Zwischen den Extremen liegt die Würze, stellte der Kunsthistoriker E.H. Gombrich  auf seine Art fest: „Als die grundlegendste Tatsache der ästhetischen Erfahrung müssen wir letztendlich die Tatsache erklären, dass die Freude irgendwo zwischen Langeweile und Verwirrung liegt” [10, S.9].


LITERATUR

  1. Mukherjee, R. und Kodandaramaiah, U. (2015): What makes eyespots intimidating - The importance of pairedness. MC Evol Biol  2015, 15:34.
  2. Anderson, J.R. et al. (2005): Are Monkeys Aesthetists? Rensch (1957) Revisited.  J Exper Psychol Animal Behav Processes 31:71-80
  3. Truchet, S. (1704): Memoir sur les Combinaisons. Memoires de l´ Académie Royale des Sciences, 363-372
  4. Smith, C.S. und Boucher, P. (1987): The Tiling Patterns of Sébastien Truchet and the Topology of Structural Hierarchy. Leonardo 20, 373-385
  5. Douat, D. (1722): Méthode pour faire une infinité de Desseins différents avec des Carreaux mi- partis de deux Couleurs par une Ligne diagonale, ou Observations du Pere Dominique Douat Religieux Carme de la Province du Toulouse, Sur un Mémoire inseré dans l´Histoire de l´Académie Royale des Sciences de Paris l´année 1704, présenté par le Reverend Pere Sébastien Truchet, Religieux du même Ordre, Académicien honoraire. Paris
  6. Justi, K.: Das Marburger Schloss. Geschichte einer deutschen Burg. Veröffentlichungen der Historischen Kommission für Hessen und Waldeck XXI. N.G. Elwertsche Verlagsbuchhandlung, Marburg 1942
  7. Kier, H. (1970): Der mittelalterliche Schmuckboden. Rheinland Verlag, Düsseldorf
  8. Weisstein, Eric W."Truchet Tiling." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 
  9. Lord, E.A. und Ranganathan, S. (2006): Truchet tilings and their generalisations. Resonance, June 2006, 42-50
  10. Gombrich, E.H. (1994): The sense of order. A study in the psychology of decorative Art. 2nd ed. Phaidon Press Ltd., London

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